Question

如圖，拋物線y=ax²+2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A（-4，0）和B．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ．當(dāng)△CEQ的面積最大時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0）．問是否有直線l，使△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得：，
解得：，
∴所求拋物線的解析式為：y=-x²-x+4．

（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G．
由-x²-x+4=0，
得x₁=2，x₂=-4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
∴AB=6，BQ=2-m，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴，
即 ，
∴EG=（2-m），
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=BQ•CO-BQ•EG
=（2-m）[4-（2-m）]
=-（m+1）²+3
又∵-4≤m≤2，
∴當(dāng)m=-1時，S_△CQE有最大值3，此時Q（-1，0）．

（3）存在．在△ODF中．
（�。┤鬌O=DF，
∵A（-4，0），D（-2，0）
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°．
此時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，2）
（ⅱ）若FO=FD，過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M
由等腰三角形的性質(zhì)得：OM=OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（-1，3）；
（ⅲ）若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4，
∴點(diǎn)O到AC的距離為2，而OF=OD=2＜2，
∴此時不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F（-2，2）或（-1，3）．
分析：（1）由拋物線y=ax²+2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A（-4，0），利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式；
（2）首先設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G．由（1）中的拋物線，即可求得B的坐標(biāo)，即可求得AB與BQ的值，又由△BQE∽△BAC，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得EG的值，又由S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ，利用二次函數(shù)的最值的求解方法，即可求得當(dāng)△CEQ的面積最大時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意分別從OD=DF，DF=OF，OD=OF去分析，即可求得答案，利用等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)即可求得答案．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．