Question

8．已知拋物線y_n=-（x-a_n）²+a_n（n為正整數(shù)，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n）與x軸的交點為A_n-1（b_n-1，0）和A_n（b_n，0），當n=1時，第1條拋物線y₁=-（x-a₁）²+a₁與x軸的交點為A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此類推．
（1）求a₁，b₁的值及拋物線y₂的解析式；
（2）拋物線y₃的頂點坐標為（9，9）；依此類推第n條拋物線y_n的頂點坐標為（n²，n²）；所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系是y=x．

Answer 1

分析 （1）先把A₀（0，0）代入y₁=-（x-a₁）²+a₁得-a₁²+a₁=0，解得a₁=1或0，加上a₁＞0，則a₁=1，于是得到y(tǒng)₁=-（x-1）²+1，再根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，通過解方程-（x-1）²+1=0得到第1條拋物線與x軸的交點為A₀（0，0）和A₁（2，0），即b₁=2；接著利用y₂=-（x-a₂）²+a₂與x軸的交點為A₁（2，0）和A₂（b₂，0），則-（2-a₂）²+a₂=0，解得a₂=1或4，利用0＜a₁＜a₂得到a₂=4，即A₂（4，0），即y₂=-（x-4）²+4；
（2）用同樣方法得到y(tǒng)₃=-（x-9）²+9，即第3條拋物線的頂點坐標為（9，9），加上第1條拋物線的頂點坐標為（1，1），第2條拋物線的頂點坐標為（4，4），依此規(guī)律可得第n條拋物線y_n的頂點坐標為（n²，n²），然后利用所有拋物線的頂點的橫縱坐標相等，可判斷所有拋物線的頂點在直線y=x上．

解答 解：（1）把A₀（0，0）代入y₁=-（x-a₁）²+a₁得-a₁²+a₁=0，解得a₁=1或0，
而a₁＞0，所以a₁=1，所以y₁=-（x-1）²+1，
當y₁=0，-（x-1）²+1=0，解得x₁=0，x₂=2，
∴第1條拋物線與x軸的交點為A₀（0，0）和A₁（2，0），
∴b₁=2，
∵y₂=-（x-a₂）²+a₂與x軸的交點為A₁（2，0）和A₂（b₂，0），
∴-（2-a₂）²+a₂=0，解得a₂=1或4，
而0＜a₁＜a₂，
∴a₂=4，即A₂（4，0）
∴y₂=-（x-4）²+4；
（2）當y₂=0時，-（x-4）²+4=0，解得x₁=2，x₂=6
∵拋物線y₃=-（x-a₃）²+a₃與x軸的交點為A₂（6，0）和A₃（b₃，0），
∴-（6-a₃）²+a₃=0，解得a₃=4或9，
而a₂＜a₃＜…＜a_n，
∴a₃=9，
∴y₃=-（x-9）²+9，即第3條拋物線的頂點坐標為（9，9），
而第1條拋物線的頂點坐標為（1，1），第2條拋物線的頂點坐標為（4，4），
∴第n條拋物線y_n的頂點坐標為（n²，n²），
∵所有拋物線的頂點的橫縱坐標相等，
∴所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系為y=x．
故答案為9，9，n²，n²．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質和從特殊到一般解決規(guī)律型問題．