Question

如圖，拋物線y=x²與直線y=x相交于O，A兩點，點P沿著拋物線從點A出發(fā)，按橫坐標(biāo)大于點A的橫坐標(biāo)方向運動，PS∥x軸，交直線OA于點S，PQ⊥x軸，SR⊥x軸，垂足為Q、R．
（1）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時，回答下列問題：
①求S點的坐標(biāo)．
②求通過原點，且平分矩形PQRS面積的直線解析式．
（2）當(dāng)矩形PQRS為正方形時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）①∵y=x²，
∴當(dāng)x=2時，y=2²=4，即點P的坐標(biāo)為（2，4），
∵PS∥x軸，
∴S點的縱坐標(biāo)與P點的縱坐標(biāo)相同，也為4，
又∵S點在直線y=x上，
∴當(dāng)y=4時，x=4，解得x=8，
∴點S的坐標(biāo)為（8，4）；
②∵點P的坐標(biāo)為（2，4），PQ⊥x軸，垂足為Q，
∴Q點的坐標(biāo)為（2，0）．
連接QS，設(shè)QS中點為B，則B點為矩形PQRS的對稱中心，作直線OB，則直線OB平分矩形PQRS的面積．
∵Q（2，0），S（8，4），
∴B（5，2）．
設(shè)直線OB的解析式為y=kx，將B（5，2）代入，
得5k=2，解得k=，
∴直線OB的解析式為y=x；

（2）∵點P在拋物線y=x²上，∴可設(shè)點P坐標(biāo)為（x，x²），則S點的坐標(biāo)為（2x²，x²）．
∵矩形PQRS為正方形，
∴PS=PQ，即2x²-x=x²，
解得x=0（舍去）或x=1，
∴點P坐標(biāo)為（1，1）．
分析：（1）①先將x=2代入y=x²，求出y=4，得到點P的坐標(biāo)為（2，4），再由PS∥x軸，得出S點的縱坐標(biāo)為4，然后將y=4代入y=x，求出x=8，即可得到點S的坐標(biāo)為（8，4）；
②由于矩形是中心對稱圖形，過對稱中心的任意一條直線都將矩形的面積平分，所以先求出矩形PQRS的對稱中心B的坐標(biāo)．因為Q（2，0），S（8，4），所以對角線QS的中點B的坐標(biāo)為（5，2），再運用待定系數(shù)法即可求出直線OB的解析式；
（2）先由點P在拋物線y=x²上，可設(shè)點P坐標(biāo)為（x，x²），再根據(jù)PS∥x軸及S點在直線y=x上，得出S點的坐標(biāo)為（2x²，x²），然后根據(jù)矩形PQRS為正方形，得出PS=PQ，即2x²-x=x²，解方程即可求出點P的坐標(biāo)．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求直線的解析式，函數(shù)圖象及平行于坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征，矩形、正方形的性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式，綜合性較強，難度不大．運用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．