Question

（2011•道里區(qū)模擬）在正方形ABCD中，點(diǎn)M是射線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD延長線上一點(diǎn)，且BM=DN．直線BD與MN相交于E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時，求證：BD-2DE=

2

BM；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC延長線上時，BD、DE、BM之間滿足的關(guān)系式是

BD+2DE=

2

BM

；
（3）在（2）的條件下，連接BN交AD于點(diǎn)F，連接MF交BD于點(diǎn)G，連接CG．若DE=

2

，且AF：FD=1：2時，求線段DG的長．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)M作MF⊥BC交BD于點(diǎn)F，推出FM=DN，根據(jù)AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出即可；
（2）過點(diǎn)M作MF⊥BC交BD于點(diǎn)F，推出FM=DN，根據(jù)AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出即可；
（3）根據(jù)已知求出CM的長，證△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD長，求出FM長即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)M作MF⊥BC交BD于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴FM∥CD，
∴∠NDE=∠MFE，
∴FM=BM，
∵BM=DN，
∴FM=DN，
在△EFM和△EDN中，

∠NDE=∠MFE ∠NED=∠MEF DN=FM

，
∴△EFM≌△EDN，
∴EF=ED，
∴BD-2DE=BF，
根據(jù)勾股定理得：BF=

2

BM，
即BD-2DE=

2

BM．
                               
（2）過點(diǎn)M作MF⊥BC交BD于點(diǎn)F，
與（1）證法類似：BD+2DE=BF=

2

BM，
故答案為：BD+2DE=

2

BM．
                                  
（3）由（2）知，BD+2DE=

2

BM，BD=

2

BC，
∵DE=

2

，
∴CM=2，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△DNF，
∴AF：FD=AB：ND，
∵AF：FD=1：2，
∴AB：ND=1：2，
∴CD：ND=1：2，
CD：（CD+2）=1：2，
∴CD=2，
∴FD=

4

3

，
∴FD：BM=1：3，
∴DG：BG=1：3，
∴DG=

2

2

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，此題綜合性比較強(qiáng)，難度較大，但題型較好，訓(xùn)練了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．用的數(shù)學(xué)思想是類比推理的思想．