Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，直線AB的解析式為y=-x+2，A為直線AB與x軸的交點(diǎn)，把直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜180），當(dāng)直線AB與⊙O相交時(shí)，α的取值范圍是________．

Answer 1

15°＜α＜75°
分析：當(dāng)直線AB與⊙O相交時(shí)，α的取值范圍實(shí)際上是介于直線AB與⊙O兩次相切時(shí)直線AB旋轉(zhuǎn)的角度．
①如圖，當(dāng)直線AB旋轉(zhuǎn)到l₁的位置時(shí)．設(shè)直線AB與圓O相切于點(diǎn)P，連接OP，則OP=1，且OP⊥AB．根據(jù)OA=2，可以推知∠OAP=30°，則α=45°-30°=15°；
②同理，當(dāng)直線AB旋轉(zhuǎn)到l₂的位置時(shí)．求得α=30°+45°=75°．
綜上所述，可以求得15°＜α＜75°．
解答：解：∵直線AB的解析式為y=-x+2，A為直線AB與x軸的交點(diǎn)，
∴A（2，0），B（0，2）．
∴OA=OB=2，
∴∠OAB=45°．
設(shè)直線AB與圓O相切于點(diǎn)P，連接OP，則OP=1，且OP⊥AB．
∴OA=2OP，
∴∠OAP=30°．
①如圖，當(dāng)直線AB旋轉(zhuǎn)到l₁的位置時(shí)．∵0＜α＜180°，∴α=∠OAB-∠OAP=45°-30°=15°；
②當(dāng)直線AB旋轉(zhuǎn)到l₂的位置時(shí)．∵0＜α＜180°，∴α=∠OAB+∠OAP=45°+30°=75°；
綜上所述，當(dāng)直線AB與⊙O相交時(shí)，α的取值范圍是15°＜α＜75°．
故答案是：15°＜α＜75°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，切線的性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．解題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解．