Question

14．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∠BAC的平分線交BC于E，P、Q分別是AE、AB上的動點，則PB+PQ的最小值是（　�。�

• A． 5
• B． $\frac{7}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 過B作BH⊥AC于H，交AE于P，過P作PQ⊥AB于Q，于是得到BH即為PB+PQ的最小值，由勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，根據(jù)三角形的面積公式得到BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{12}{5}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：過B作BH⊥AC于H，交AE于P，過P作PQ⊥AB于Q，
∵AE平分∠BAC，
∴PH=PQ，
∴BH=PB+PH=PB+PQ，
則BH即為PB+PQ的最小值，
∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BH，
∴BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{12}{5}$，
∴PB+PQ的最小值是$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．