Question

4．如圖，已知一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+2的圖象分別交x軸，y軸于B點、A點，拋物線y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c的圖象經過A、B兩點，在第一象限內的拋物線上有一動點D，過D作DE⊥x軸，垂足為E，交AB于點F．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若G為線段DE上一點，F(xiàn)為線段DG的中點，以G為圓心，GD為半徑作圓，當⊙G與y軸相切時，求點D的坐標；
（3）設點D的橫坐標為m，以A，B，D為頂點的三角形面積為S，求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得A、B點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸上的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得DF的長，根據(jù)線段中點的性質，可得DG的長根據(jù)圓與y軸相切，可得關于x的方程，根據(jù)解方程，可得x，可得D點坐標；
（3）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質，可得答案．

解答 解：（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，當x=0時，y=2；當y=0時，x=4．
所以A（0，2），B（4，0）．
把A（0，2），B（4，0）代入y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c中，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a+2+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
（2）設F點的坐標為（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
則D點的坐標為（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2），
∴DF=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{4}$x²+x
∵G點與D點關于F點對稱，
∴GD=2FD=2（-$\frac{1}{4}$x²+x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x．
若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得⊙G與y軸相切，即
-$\frac{1}{2}$x²+2x=x，
解得：x=2，x=0（舍去）．
綜上所述：D點的坐標為（2，2）；
（3）如圖，，
連接DA，AB，DO，
∵點D的坐標為（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2）
∴S_△ABD=S_△AOD+S_△DOB-S_AOB
=$\frac{1}{2}$×2m+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2）-$\frac{1}{2}$×2×4
=-$\frac{1}{2}$m²+2m
=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2
當m=2時，S有最大值2．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用圓與y軸相切得出關于x的方程是解題關鍵；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關鍵，又利用了二次函數(shù)的性質．