Question

如圖，在四邊形ABCD內(nèi)找一點O，使OA+OB+OC+OD之和最小，并說出你的理由．

Answer 1

解：要使OA+OB+OC+OD最小，則點O是線段AC、BD的交點．
理由如下：如果存在不同于點O的交點P，連接PA、PB、PC、PD，
那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即點O是線段AC、BD的交點時，OA+OB+OC+OD之和最小．
分析：連接AC、BD相交于點O，則點O就是所要找的點；
取不同于點O的任意一點P，連接PA、PB、PC、PD，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得PA+PC＞AC，PB+PD＞BD，然后結(jié)合圖形即可得到PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，從而可得點O就是所要找的四邊形ABCD內(nèi)符合要求的點．
點評：本題考查了三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，作出圖形更助于問題的解決，本題滲透了反證法的思想，希望同學(xué)們逐漸適應(yīng)并熟練掌握．