Question

9．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點(diǎn)C在x軸上，一銳角頂點(diǎn)B在y軸上．
（1）如圖1所示，若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，-2），求：點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若y軸恰好平分∠ABC，AC與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，問(wèn)BD與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥y軸于F，在滑動(dòng)的過(guò)程中，猜想OC、AF、OB之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，-2），作AD⊥OC于點(diǎn)D，可以得到AD的長(zhǎng)度，DC的長(zhǎng)度，OC的長(zhǎng)度，從而可以得到AC的長(zhǎng)度，根據(jù)AC=BC，由勾股定理可以得到OB的長(zhǎng)度，從而可以得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）先說(shuō)明BD與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，然后針對(duì)得到的數(shù)量關(guān)系，作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線三線合一，可以最終證得所要說(shuō)明的數(shù)量關(guān)系；
（3）先猜想OC、AF、OB之間的關(guān)系，然后根據(jù)猜想作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，然后證明所要證明的結(jié)論即可．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CO于點(diǎn)D，如下圖1所示，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，-2），△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，∠BOC=∠ADC=90°，
∴AD=2，CD=4，CO=2，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴BC=$2\sqrt{5}$，
∵BC²=OC²+OB²，
∴BC=4，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；
（2）BD=2AF，
理由：作AE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如下圖2所示，

∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點(diǎn)C在x軸上，AE⊥y軸于E，
∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AED=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠BDC=∠ADE，
∴∠DBC=∠FAC，
在△BDC和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ACF}\\{BC=AC}\\{∠DBC=∠FAC}\end{array}\right.$
∴△BDC≌△AFC（ASA）
∴BD=AF，
∵BE⊥AE，y軸恰好平分∠ABC，
∴AF=2AE，
∴BD=2AF
（3）OC=OB+AF，
證明：作AE⊥OC于點(diǎn)E，如下圖3所示，

∵AE⊥OC，AF⊥y軸，
∴四邊形OFAE是矩形，∠AEC=90°，
∴AF=OE，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點(diǎn)C在x軸上，∠BOC=90°，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCO+∠CBO=90°，∠BCO+∠ACE=90°，
∴∠CBO=∠ACE，
在△BOC和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOC=∠CEA}\\{∠CBO=∠ACE}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BOC≌△CEO（AAS）
∴OB=CE，
∵OC=OE+EC，OE=AF，OB=EC，
∴OC=OB+AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．