Question

17．如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．
（1）求證：EB=GD且EB⊥GD；
（2）若AB=2，AG=$\sqrt{2}$，求EB的長度．

Answer 1

分析 （1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB從而△GAD≌△EAB，即EB=GD；由∠AEB=∠AGD，∠EOH=∠AOG，即可得出∠EHG=∠EAG=90°；
（2）設BD與AC交于點O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，利用勾股定理即可求得結果．

解答 證明：（1）如圖1，

在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD
∴∠GAD=∠EAB，
∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠EAB=∠GAD}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；∠AEB=∠AGD，
∵∠EOH=∠AOG，
∴∠EHG=∠EAG=90°，
∴EB=GD且EB⊥GD；
（2）如圖2，連接BD，BD與AC交于點O，

∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴OG=OA+AG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴EB=GD=$\sqrt{O{G}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{8+2}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了正方形的性質及全等三角形的判定與性質，利用三角形全等是解題的關鍵．