Question

如圖，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)

E，DF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）求證：CE=CF；
（2）點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CEDF成為正方形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵CD垂直平分線AB，
∴AC=CB．
又∵AC=CB，
∴△ABC是等腰三角形，




∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC與△DFC中，
∵

∠ACD=∠BCD CD=CD ∠EDC=∠FDC

，
∴△DEC≌△DFC．（ASA）
∴CE=CF．

（2）當(dāng)CD=

1

2

AB時(shí)，四邊形CEDF為正方形．理由如下：




∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=

1

2

AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四邊形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四邊形ECFD是正方形．