Question

已知：二次函數(shù)y=-（x-h）²+k圖象的頂點P在x軸上，且它的圖象經(jīng)過點A（3，-1），與y軸相交于點B，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點P和點A，并與y軸的正半軸相交．
求：（1）k的值；
（2）這個一次函數(shù)的解析式；
（3）∠PBA的正弦值．

Answer 1

（1）∵二次函數(shù)y=-（x-h）²+k圖象的頂點P在x軸上，
∴k=0． 

（2）∵二次函數(shù)y=-（x-h）²的圖象經(jīng)過點A（3，-1），
∴-1=-（3-h）²．
∴h₁=2，h₂=4．
∴點P的坐標為（2，0）或（4，0）．  
（i）當點P的坐標為（2，0）時，
∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點P和點A，
∴

0=2a+b  -1=3a+b

解得

a=-1  b=2

，
（ii）當點P的坐標為（4，0）時，
∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點P和點A，
∴

0=4a+b  -1=3a+b

解得

a=1  b=-4

，
∵一次函數(shù)的圖象與y軸的正半軸相交，
∴

a=1  b=-4

不符合題意，舍去． 
∴所求的一次函數(shù)解析式為y=-x+2． 

（3）∵點P的坐標為（2，0），點A的坐標為（3，-1），點B的坐標為（0，-4），
∴BP=2

5

，AB=3

2

，AP=

2

． 
∴AB2+AP2=(3

2

)2+(

2

)2=20，BP²=20．
∴AB²+AP²=BP²．
∴∠BAP=90°． 
∴sin∠PBA=

2

2 5

=

10

10

．