Question

【題目】如圖，以直線x＝1為對稱軸的拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數)經過A(4，0)和B(0，4)兩點，其頂點為C.

(1)求該拋物線的表達式及其頂點C的坐標；

(2)若點M是拋物線上的一個動點，且位于第一象限內．

①設△ABM的面積為S，試求S的最大值；

②若S為整數，則這樣的M點有 個．

Answer 1

【答案】(1)拋物線表達式為y＝－x2＋x＋4,頂點坐標為(1， );

(2) ①S△ABM的最大值為4; ②3.

【解析】試題分析： 先利用拋物線的對稱性確定拋物線與軸的另一個交點坐標，再設交點式 然后把點坐標代入求出即可得到拋物線的解析式，再把解析式配成頂點式可得的坐標；

①過點作軸交于點，如圖，利用待定系數法求出直線的解析式，則可設 則 于是用可表示出，再利用 得到與的二次函數，然后根據二次函數的性質求解；
②在的取值范圍內找出整數使對應的函數值為整數即可確定點的位置．

試題解析： ∵拋物線的對稱軸為直線 拋物線與軸的一個交點為

∴拋物線與軸的另一個交點為

設拋物線的解析式為

把代入得

解得

∴拋物線的解析式為

即

∴拋物線的頂點的坐標為

(2)①過點作軸交于點，如圖，

設的解析式為把代入得

解得

∴直線的解析式為

設則

∴當時， 有最大值，最大值為；

②

∴當時， 為整數，

即這樣的點有個.

故答案為.