Question

17．梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、CD的中點，連接AF并延長并BC延長線于點G．
求證：EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

Answer 1

分析 先證明△ADF≌△GCF得到AD=CG，再證明EF為△ABG的中位線，則EF∥BG，EF=$\frac{1}{2}$BG，易得EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

解答 證明：∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠GCF，∠DAF=∠CGF，
∵F為CD的中點，
∴DF=CF，
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CGF}\\{∠ADF=∠GCF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AD=CG，
∵E是AB的中點，
∴EF為△ABG的中位線，
∴EF∥BG，EF=$\frac{1}{2}$BG，
∴EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（BC+CG）=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

點評 本題考查了梯形的中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．也考查了三角形中位線性質．