Question

4．如圖，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．
（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；
（2）若KD=KG，BC=4-$\sqrt{2}$，求KD的長度．

Answer 1

分析 （1）①先根據AAS判定△DOK≌△BOG，②再根據等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質，得出結論BG=AB+AK；
（2）先根據等量代換得出AF=KG=KD=BG，再設AB=a，根據AK=FG列出關于a的方程，求得a的值，進而計算KD的長．

解答 解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO，
∵點O是BD的中點，
∴DO=BO，
∴△DOK≌△BOG（AAS）．

②∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴AB=BF．
∵OK∥AF，AK∥FG，
∴四邊形AFGK是平行四邊形，
∴AK=FG．
∵BG=BF+FG，
∴BG=AB+AK；

（2）由（1）得，四邊形AFGK是平行四邊形．
∴AK=FG，AF=KG，
又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG，
∴AF=KG=KD=BG．
設AB=a，則AF=KG=KD=BG=$\sqrt{2}$a，
∴AK=4-$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$a，FG=BG-BF=$\sqrt{2}$a-a，
∴4-$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$a-a，
解得a=$\sqrt{2}$，
∴KD=$\sqrt{2}$a=2．

點評 本題主要考查了矩形的性質以及平行四邊形的性質，解題時需要運用全等三角形的判定與性質．