Question

17．拋物線y=x²+bx+c過點A（-2，-3），與y軸交于點B，對稱軸是x=-1，請回答下列問題：
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標．
（2）在平面直角坐標系中，畫出二次函數(shù)的圖象；
（3）當x取何值時，y隨x的增大而減少？
（4）當x取何值時，y=0，y＞0，y＜0，
（5）當0＜x＜4時，求y的取值范圍；
（6）在拋物線上是否存在點P，滿足S_△BOP=6？若存在求出點P的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=x²+bx+c過點A（-2，-3），對稱軸是x=-1列出關于b、c的方程組，求出b、c的值，進而可得出結論；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式得出拋物線與x軸的交點，畫出函數(shù)圖象即可；
（3）根據(jù)拋物線開口向上，對稱為直線x=-1即可得出結論；
（4）根據(jù)拋物線與x、y軸的交點即可得出結論；
（5）先求出x=0與x=4時y的值，進而可得出結論；
（6）設P（x，x²+2x-3），再由三角形的面積公式即可得出結論．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點A（-2，-3），對稱軸是x=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}4-2b+c=-3\\-\frac{2}=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3，頂點坐標為（-1，-4）；

（2）∵拋物線的解析式為y=x²+2x-3，
∴拋物線與x軸的交點為（-3，0），（1，0），
∴二次函數(shù)的圖象如圖所示．

（3）∵拋物線開口向上，對稱為直線x=-1，
∴當x＜-1時，y隨x的增大而減少；
當x取何值時，y=0，y＞0，y＜0，

（4）∵物線的解析式為y=x²+2x-3，
∴B（0，-3）．
∵拋物線與x軸的交點為（-3，0），（1，0），
∴當x=-3或x=1時，y=0；
當x＜-3或x＞1時，y＞0；
當-3＜x＜1時，y＜0．

（5）∵當x=0時，y=-3；當x=4時，y=21，
∴當0＜x＜4時，-3＜y＜21；

（6）存在．
設P（x，x²+2x-3），
∵B（0，-3），
∴OB=3，
∵S_△BOP=6，
∴$\frac{1}{2}$×3|x|=6，解得x=±4，
當x=4時，P（4，21）；
當x=-4時，P（-4，5）．
綜上所述，P（4，21）或（-4，5）．

點評 本題考查的是二次函數(shù)與不等式，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．