Question

15．如圖，射線(xiàn)BD是∠MBN的平分線(xiàn)，點(diǎn)A、C分別是角的兩邊BM、BN上兩點(diǎn)，且AB=BC，E是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，線(xiàn)段EC的垂直平分線(xiàn)交射線(xiàn)BD于點(diǎn)F，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)G，連結(jié)AF、EF、FC．
（1）求證：AF=EF；
（2）求證：△AGF∽△BAF；
（3）若點(diǎn)P是線(xiàn)段AG上一點(diǎn)，連結(jié)BP，若∠PBG=$\frac{1}{2}$∠BAF，AB=3，AF=2，求$\frac{EG}{GP}$．

Answer 1

分析 （1）由于EF=CF，要證AF=EF，只需證FA=FC，只需證△ABF≌△CBF即可；
（2）由于∠AFG=∠BFA，要證△AGF∽△BAF，只需證∠FAE=∠ABF，易得∠FAE=∠FEA，∠ABF=∠CBF，只需證∠ABC+∠AFE=180°，只需證∠BAF+∠BEF=180°，只需證到∠BAF=∠FEC即可；
（3）由△AGF∽△BAF可得∠BAF=∠AGF，$\frac{FG}{AG}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{3}$，易證△BGE∽△AGF，則有$\frac{GE}{BG}$=$\frac{GF}{AG}$=$\frac{2}{3}$，由條件∠PBG=$\frac{1}{2}$∠BAF可得∠PBG=$\frac{1}{2}$∠AGF，由此可得∠BPG=∠PBG，即可得到BG=PG，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
在△ABF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF．
∵點(diǎn)F在EC的垂直平分線(xiàn)上，
∴EF=CF，
∴AF=EF；

（2）∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF．
∵FE=FC，
∴∠FEC=∠FCE，
∴∠BAF=∠FEC．
∵∠BEF+∠FEC=180°，
∴∠BAF+∠BEF=180°．
∵∠BAF+∠ABE+∠BEF+∠AFE=360°，
∴∠ABE+∠AFE=180°．
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA．
∵∠AFE+∠FAE+∠FEA=180°，
∴∠ABE=∠FAE+∠FEA=2∠FAE．
又∵∠ABE=2∠ABF，
∴∠FAE=∠ABF．
∵∠AFG=∠BFA，
∴△AGF∽△BAF；

（3）∵△AGF∽△BAF，
∴∠AGF=∠BAF，$\frac{FG}{FA}$=$\frac{AG}{BA}$．
∵∠PBG=$\frac{1}{2}$∠BAF，AB=3，AF=2，
∴∠PBG=$\frac{1}{2}$∠AGF，$\frac{FG}{2}$=$\frac{AG}{3}$，
∴∠BPG=∠PBG，$\frac{FG}{AG}$=$\frac{2}{3}$，
∴PG=BG，
∴$\frac{EG}{PG}$=$\frac{EG}{BG}$．
∵∠GAF=∠ABF=∠EBF，∠AGF=∠BGE，
∴△BGE∽△AGF，
∴$\frac{GE}{BG}$=$\frac{GF}{AG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EG}{PG}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，證到∠ABE+∠AFE=180°是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證到BG=PG是解決第（3）小題的關(guān)鍵．