Question

以下哪些選項可判斷二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點：

 

（只需填上正確的序號）
①a+b+c=0；②b＞a+c；③b=2a+3c；④ac＜0．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：當(dāng)a+b+c=0，即b=-（a+c），再計算△得到△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，因此可判斷二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有一個或兩個交點；當(dāng)b＞a+c，不能確定二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸的交點個數(shù)；當(dāng)b=2a+3c或ac＜0時，可計算出△＞0，于是可判斷二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點．

解答：解：當(dāng)a+b+c=0，即b=-（a+c），則△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，所以二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有一個或兩個交點，所以①錯誤；
當(dāng)b＞a+c，即a-b+c＞0，所以當(dāng)x=-1時，函數(shù)值為正數(shù)，不能確定二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸的交點個數(shù)，所以②錯誤；
當(dāng)b=2a+3c，則△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+c²＞0，所以二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，所以③正確；
當(dāng)ac＜0，則△=b²-4ac＞0，所以二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，所以④正確．
故答案為③④．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)；二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．