Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．
（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
（3）若點P從點A運動到點B，再繼續(xù)在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

（1）證明：在正方形ABCD中， 無論點P運動到AB上何處時，都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，∴△ADQ≌△ABQ；
（2）解法一：△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時，
過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，
AD×QE=S正方形ABCD=×16=，
∴QE=，
由△DEQ∽△DAP得，即=，解得AP=2，
∴AP=2時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
解法二：以A為原點建立如圖所示的直角坐標系，過點Q作QE⊥y軸于點E，QF⊥x軸于點F．AD×QE=S正方形ABCD=×16=，
∴QE=，
∵點Q在正方形對角線AC上，∴Q點的坐標為（，），
∴過點D（0，4），Q（，）兩點的函數(shù)關系式為：y=﹣2x+4，
當y=0時，x=2，∴P點的坐標為（2，0），
∴AP=2時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
（3）解：若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①當AD=DQ時，則∠DQA=∠DAQ=45°∴∠ADQ=90°，P為C點，
②當AQ=DQ時，則∠DAQ=∠ADQ=45°，∴∠AQD=90°，P為B，
③AD=AQ（P在BC上），∴CQ=AC﹣AQ=BC﹣BC=（﹣1）BC
∵AD∥BC
∴==1，
∴CP=CQ=（﹣1）BC=4（﹣1）
綜上，P在B點，C點，或在CP=4（﹣1）處，△ADQ是等腰三角形．