Question

11．如圖，在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，∠A=45°，求S_△AEF：S_{四邊形FBCE}．

Answer 1

分析 通過已知條件證得△ABE∽△ACF，得到$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$，且∠FAE=∠CAB，推出△ABC∽△AEF，證得△AFC是等腰直角三角形，得到$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AF}{AC}$）²=$\frac{1}{2}$，于是得到結果．

解答 解：∵BE、CF是高，
∴∠AEB=∠AFC=90°，且∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$，且∠FAE=∠CAB，
∴△ABC∽△AEF，
∵∠A=45°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AF，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AF}{AC}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF：S_{四邊形FBCE}=1：1．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形對應邊成比例、面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．