Question

3．點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，在直線AB上側(cè)任作一個(gè)∠COD，使得∠COD=90°．
（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OE恰好為∠AOD的角平分線時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠BOD與∠COE之間的倍數(shù)關(guān)系，即∠BOD=2∠COE（填一個(gè)數(shù)字）；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OC恰好為∠AOE的角平分線時(shí)，另作射線OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由題意得出∠BOD+∠AOC=90°，∠BOD=180°-∠AOD，再由角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果；
（2）由角平分線定義得出∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，再由∠BOD+∠AOC=90°，即可得出結(jié)果；
（3）設(shè)∠EOF=x，則∠EOC=3x，∠COF=4x，根據(jù)題意得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∠BOD=2∠COE；理由如下：
∵∠COD=90°．
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOD，
又∵∠BOD=180°-∠AOD，
∴∠COE=∠AOE-∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOD-（90°-∠BOD）=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOD）-90°+∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠BOD=2∠COE；
故答案為：2；
（2）∵OC為∠AOE的角平分線，OF平分∠COD，
∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，
∴∠FOB+∠EOC=∠DOF+∠BOD+∠AOC=45°+90°=135°；
（3）∵∠EOC=3∠EOF，
設(shè)∠EOF=x，則∠EOC=3x，
∴∠COF=4x，由（2）得：∠AOE=2∠COE=6x，∠DOF=4x，
∵∠COD=90°，
∴4x+4x=90°，
解得：x=11.25°，
∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線定義、角的互余關(guān)系、鄰補(bǔ)角定義以及角的計(jì)算；熟練掌握角平分線定義，得出角之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．