Question

已知，△ABC為等邊三角形，點D為直線AB上一動點（點D不與A、B重合）．以CD為邊作菱形CDEF，使∠DCF=60°，連接AF．

（1）如圖1，當點D在邊AB上時，

 

①求證：∠BDC=∠AFC；

②請直接判斷結論∠AFC=∠BAC＋∠ACD是否成立？

（2）如圖2，當點D在邊BA的延長線上時，其他條件不變，結論∠AFC=∠BAC＋∠ACD是否成立？請寫出∠AFC、∠BAC、∠ACD之間存在的數(shù)量關系，并寫出證明過程；

（3）如圖3，當點D在邊AB的延長線上時，且點C、F分別在直線AB的異側，其他條件不變，請補全圖形，并直接寫出∠AFC、∠BAC、∠ACD之間存在的等量關系．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）①詳見解析；（2）成立；（2）不成立，∠AFC=∠BAC-∠ACD；（3）∠AFC+∠ACD=2∠BAC

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)等邊三角形的性質可得AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°，根據(jù)菱形的性質及∠DCF=60°可得CF=CD，∠ACF=∠BCD，即可證得△BCD≌△ACF，從而可以證得結論；

②由△BCD≌△ACF可得∠AFC=∠BDC，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和即可證得結論；

（2）同（1）可證得△BCD≌△ACF，即可得到∠AFC=∠BDC，再結合三角形的外角的性質即可作出判斷；

（3）先根據(jù)題意畫出圖形，再結合（1）（2）中的結論即可作出判斷.

試題解析：（1）①∵△ABC為等邊三角形

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°

∵菱形CDEF，∠DCF=60°

∴CF=CD，∠ACF=∠BCD

∴△BCD≌△ACF

∴∠BDC=∠AFC；

②∵△BCD≌△ACF

∴∠AFC=∠BDC

∵∠BDC=∠BAC＋∠ACD

∴∠AFC=∠BAC＋∠ACD成立；

（2）∠AFC=∠BAC＋∠ACD不成立

∵△ABC為等邊三角形

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°

∵菱形CDEF，∠DCF=60°

∴CF=CD，∠ACF=∠BCD

∴△BCD≌△ACF

∴∠BDC=∠AFC

∴∠AFC=∠BDC=∠BAC-∠ACD；

（3）如圖所示：

則有∠AFC+∠ACD=2∠BAC.

考點：1.全等三角形的性質和判定；2.等邊三角形的性質；3.菱形的性質