Question

【題目】在中，分別是的中點(diǎn)，若等腰繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，記直線(xiàn)與的交點(diǎn)為

(1)如圖，當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)等于 ,線(xiàn)段的長(zhǎng)等于 ．(直接填寫(xiě)結(jié)果)

(2)如圖，當(dāng)時(shí)，求證：，且；

(3)設(shè)的中點(diǎn)為，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為 (直接填寫(xiě)結(jié)果).

Answer 1

【答案】(1)； ；(2)證明見(jiàn)解析；(3)

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求得答案；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，繼而證明，即可推得答案；

(3)利用直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)即可求得答案.

(1)∵∠BAC=90°，AC=AB=4，D、E分別是邊AB、AC的最短，

∴AE=AD=2，

∵等腰繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，

∴當(dāng)α=90°時(shí)，AE1=2，∠E1AE=90°，

∴BD1=，CE1=，

故答案為：； ；

(2)當(dāng)時(shí)，

是由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

，

在和中

，

，

，

記直線(xiàn)與交于點(diǎn)，，

；

(3)如圖2，由(2)的證明可知旋轉(zhuǎn)角為α?xí)r，易證得，

∴∠1=∠2，

又∵∠3=∠4，∠1+∠4+∠BAC=180°，∠2+∠3+∠BPC=180°，

∴∠CPB=∠CAB=90°，

又∵M為BC的中點(diǎn)，

∴PM=BC，

∴PM=，

故答案為：