Question

15．對于正實(shí)數(shù)a，b；（$\frac{a+b}{2}$）²-ab=$\frac{{a}^{2}+2ab+^{2}}{4}$-$\frac{4ab}{4}$=$\frac{{a}^{2}-2ab+^{2}}{4}$=（$\frac{a-b}{2}$）²
∵（$\frac{a-b}{2}$）²≥0；∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²；如圖：如果點(diǎn)A（a，b）是反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線；過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)B，C，仿照上面給定的條件
（1）求出四邊形OBAC的周長最小值
（2）四邊形OBAC的周長最小時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A在第一象限即可得出a＞0、b＞0、a+b＞0、ab=3，結(jié)合ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²即可得出a+b≥2$\sqrt{3}$，再根據(jù)矩形的周長公式即可得出結(jié)論；
（2）由當(dāng)a=b時(shí)a-b=0，即可得出當(dāng)a=b時(shí)四邊形OBAC的周長最小，結(jié)合ab=3即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（a，b）是反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$（x＞0）圖象上一點(diǎn)，
∴a＞0，b＞0，a+b＞0，ab=3．
∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴a+b≥2$\sqrt{3}$，
∴四邊形OBAC的周長2（a+b）≥4$\sqrt{3}$，即四邊形OBAC的周長最小值為4$\sqrt{3}$．
（2）∵當(dāng)a=b時(shí)，a-b=0，
∴當(dāng)a=b時(shí)，四邊形OBAC的周長最小．
∵ab=3，且點(diǎn)A（a，b）在第一象限，
∴四邊形OBAC的周長最小時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、不等式的性質(zhì)以及矩形的周長，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)找出a+b≥2$\sqrt{3}$；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)找出當(dāng)a=b時(shí)，四邊形OBAC的周長最�。�