Question

觀察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

；

1

6

=

1

2×3

-

1

2

-

1

3

；

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

…
（1）請利用上述規(guī)律計算：（要求寫出計算過程）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

；
（2）請利用上述規(guī)律，解方程：

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

考點：分式的加減法

專題：規(guī)律型

分析：（1）原式變形后，利用拆項法變形，抵消合并即可得到結(jié)果；
（2）方程利用拆項法變形后，即可求出解．

解答：解：（1）原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

+

1

n×(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（2）方程變形得：

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
整理得：

1

x-2

=

2

x+1

，
去分母得：x+1=2x-4，
解得：x=5，
經(jīng)檢驗，x=5是原方程的根，
則原方程的根是x=5．

點評：此題考查了分式的加減法，弄清題中的拆項法是解本題的關(guān)鍵．