Question

如圖，拋物線y=-x²+4x-3與坐標軸交與A、B、C三點，點M在線段BC上，將線段OM繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90゜，點M的對應(yīng)點N恰好落在第一象限的拋物線上，求N點的坐標．

Answer 1

分析：由y=-x²+4x-3=-（x-3）（x-1），可得拋物線和x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，C（0，-3），從而得到△OBC是等腰直角三角形，連結(jié)MN，BN．根據(jù)SAS證明△OCM≌△OBN，可得∠OCB=∠OBN=45°，∠NBC=90°，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線BC解析式為：y=x-3，直線BN的解析式為y=-x+3，聯(lián)立拋物線和直線BN解析式可得

y=-x+3 y=-x2+4x-3

，解方程組即可得到N坐標．

解答：解：∵y=-x²+4x-3=-（x-3）（x-1），
∴拋物線和x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，
當x=0時，y=-3，
∴拋物線與y軸交于C（0，-3），
對稱軸為x=

-4

-2

=2，
頂點縱坐標y=-4+4×2-3=1，
頂點坐標D（2，1），
∴OC=OB，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
連結(jié)MN，BN．
則OM=ON，
∵∠COB=∠MOA=90°，
∴∠COB-∠MOB=∠MON-∠MOB，
∴∠COM=∠BON，
在△OCM與△OBN中，

OM=ON ∠COM=∠BON OC=OB

，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴∠OCB=∠OBN=45°，
∴∠NBC=90°，
由B（3，0），C（0，-3）可得直線BC解析式為：y=x-3，
設(shè)直線BN的解析式為y=-x+m，
由B（3，0），可得-3+m=0，解得m=3，
則直線BN的解析式為y=-x+3，
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得

y=-x+3 y=-x2+4x-3

，
解得

x=2 y=1

或

x=3 y=0

（不合題意，舍去）
∴N坐標為：N（2，1）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，方程思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．