Question

12．已知拋物線y=x²+kx+k-1．
（1）當(dāng)k=3時(shí)，求拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線過x軸上一定點(diǎn)；
（3）設(shè)拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A（x_A，0），B（x_B，0）兩點(diǎn)，且滿足：x_A＜x_B＜0，S_△ABC=6，①求拋物線的表達(dá)式；②y軸負(fù)半軸上是否存在一點(diǎn)D，使得以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把k=3代入y=x²+kx+k-1，得到y(tǒng)=x²+3x+2，令y=0，得x²+3x+2=0，再解方程求出x的值，即可求解；
（2）令x²+kx+k-1=0，解方程求得兩根有一常數(shù)，問題得證；
（3）①由x_A＜x_B＜0，得1-k＜0，分兩種情況：
Ⅰ）若-1＜1-k，則k＜2，求得1＜k＜2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
Ⅱ）若1-k＜-1，則k＞2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
②由y=x²+5x+4求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得AB、AC，由△CAD∽△ABC，求出CD，得出OD，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 （1）解：∵y=x²+kx+k-1，
∴當(dāng)k=3時(shí)，y=x²+3x+2，
令y=0，得x²+3x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=-2，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，0），（-2，0）；

（2）證明：∵y=x²+kx+k-1，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x²+kx+k-1=0，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴無論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線過x軸上一定點(diǎn)（-1，0）；

（3）解：①∵x_A＜x_B＜0，
∴1-k＜0，即k＞1．
分兩種情況：
Ⅰ）若-1＜1-k，則k＜2，
∴1＜k＜2，這時(shí)x_A=-1，x_B=1-k，
∴AB=x_B-x_A=1-k-（-1）=2-k，且OC=k-1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（2-k）（k-1）=6，
整理，得k²-3k+14=0，
∵b²-4ac=（-3）²-4×14＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)解，即-1＜1-k不成立；
Ⅱ）若1-k＜-1，則k＞2，
∴這時(shí)x_A=1-k，x_B=-1，
∴AB=x_B-x_A=-1-（1-k）=k-2，且OC=k-1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（k-2）（k-1）=6，
整理，得（k-5）（k+2）=0，
∴k₁=5，k₂=-2（不合題意，舍去），
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=x²+5x+4；

②如圖，存在一點(diǎn)D，使得以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
∵y=x²+5x+4，
∴A（-4，0），B（-1，0），C（0，4），
∴AB=3，OC=4，AC=4$\sqrt{2}$，
∵∠CAO=∠OCA=45°，
∴只有△CAD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴CD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{32}{3}$，
∴OD=CD-OC=$\frac{32}{3}$-4=$\frac{20}{3}$，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{20}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，滲透分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想．