Question

16．已知數(shù)軸上三點A，O，B表示的數(shù)分別為-3，0，1，點P為數(shù)軸上任意一點，其表示的數(shù)為x．
（1）如果點P到點A，點B的距離相等，那么x=-1；
（2）當x=-4或2時，點P到點A，點B的距離之和是6；
（3）若點P到點A，點B的距離之和最小，則x的取值范圍是-3≤x≤1；
（4）在數(shù)軸上，點M，N表示的數(shù)分別為x₁，x₂，我們把x₁，x₂之差的絕對值叫做點M，N之間的距離，即MN=|x₁-x₂|．若點P以每秒3個單位長度的速度從點O沿著數(shù)軸的負方向運動時，點E以每秒1個單位長度的速度從點A沿著數(shù)軸的負方向運動、點F以每秒4個單位長度的速度從點B沿著數(shù)軸的負方向運動，且三個點同時出發(fā)，那么運動$\frac{4}{3}$或2秒時，點P到點E，點F的距離相等．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離的表示列出方程求解即可；
（2）根據(jù)AB的距離為4，小于6，分點P在點A的左邊和點B的右邊兩種情況分別列出方程，然后求解即可；
（3）根據(jù)兩點之間線段最短可知點P在點AB之間時點P到點A，點B的距離之和最小最短，然后寫出x的取值范圍即可；
（4）設運動時間為t，分別表示出點P、E、F所表示的數(shù)，然后根據(jù)兩點間的距離的表示列出絕對值方程，然后求解即可．

解答 解：（1）由題意得，|x-（-3）|=|x-1|，
解得x=-1；

（2）∵AB=|1-（-3）|=4，點P到點A，點B的距離之和是6，
∴點P在點A的左邊時，-3-x+1-x=6，
解得x=-4，
點P在點B的右邊時，x-1+x-（-3）=6，
解得x=2，
綜上所述，x=-4或2；

（3）由兩點之間線段最短可知，點P在AB之間時點P到點A，點B的距離之和最小，
所以x的取值范圍是-3≤x≤1；

（4）設運動時間為t，點P表示的數(shù)為-3t，點E表示的數(shù)為-3-t，點F表示的數(shù)為1-4t，
∵點P到點E，點F的距離相等，
∴|-3t-（-3-t）|=|-3t-（1-4t）|，
∴-2t+3=t-1或-2t+3=1-t，
解得t=$\frac{4}{3}$或t=2．
故答案為：（1）-1；（2）-4或2；（3）-3≤x≤1；（4）$\frac{4}{3}$或2．

點評 本題考查了絕對值，數(shù)軸，主要利用了數(shù)軸上兩點間的距離的表示方法，讀懂題目信息，理解兩點間的距離的表示方法是解題的關鍵．