Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，直線l經(jīng)過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，過點A（0，1）作y軸的垂線l于點B，過點B₁作直線l的垂線交y軸于點A₁，以A₁B．BA為鄰邊作?ABA₁C₁；過點A₁作y軸的垂線交直線l于點B₁，過點B₁作直線l的垂線交y軸于點A₂，以A₂B₁．B₁A₁為鄰邊作?A₁B₁A₂C₂；…；按此作法繼續(xù)下去，則C₄的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

專題：規(guī)律型

分析：先求出直線l的解析式為y=

3

3

x，設(shè)B點坐標(biāo)為（x，1），根據(jù)直線l經(jīng)過點B，求出B點坐標(biāo)為（

3

，1），解Rt△A₁AB，得出AA₁=3，OA₁=4，由平行四邊形的性質(zhì)得出A₁C₁=AB=

3

，則C₁點的坐標(biāo)為（-

3

，4），即（-

3

×4⁰，4¹）；根據(jù)直線l經(jīng)過點B₁，求出B₁點坐標(biāo)為（4

3

，4），解Rt△A₂A₁B₁，得出A₁A₂=12，OA₂=16，由平行四邊形的性質(zhì)得出A₂C₂=A₁B₁=4

3

，則C₂點的坐標(biāo)為（-4

3

，16），即（-

3

×4¹，4²）；同理，可得C₃點的坐標(biāo)為（-16

3

，64），即（-

3

×4²，4³）；進(jìn)而得出規(guī)律，求得C_n的坐標(biāo)是（-

3

×4^n-1，4ⁿ），即可得出C₄的坐標(biāo)．

解答：解：∵直線l經(jīng)過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，
∴直線l的解析式為y=

3

3

x．
∵AB⊥y軸，點A（0，1），
∴可設(shè)B點坐標(biāo)為（x，1），
將B（x，1）代入y=

3

3

x，
得1=

3

3

x，解得x=

3

，
∴B點坐標(biāo)為（

3

，1），AB=

3

．
在Rt△A₁AB中，∠AA₁B=90°-60°=30°，∠A₁AB=90°，
∴AA₁=

3

AB=3，OA₁=OA+AA₁=1+3=4，
∵?ABA₁C₁中，A₁C₁=AB=

3

，
∴C₁點的坐標(biāo)為（-

3

，4），即（-

3

×4⁰，4¹）；
由

3

3

x=4，解得x=4

3

，
∴B₁點坐標(biāo)為（4

3

，4），A₁B₁=4

3

．
在Rt△A₂A₁B₁中，∠A₁A₂B₁=30°，∠A₂A₁B₁=90°，
∴A₁A₂=

3

A₁B₁=12，OA₂=OA₁+A₁A₂=4+12=16，
∵?A₁B₁A₂C₂中，A₂C₂=A₁B₁=4

3

，
∴C₂點的坐標(biāo)為（-4

3

，16），即（-

3

×4¹，4²）；
同理，可得C₃點的坐標(biāo)為（-16

3

，64），即（-

3

×4²，4³）；
以此類推，則C_n的坐標(biāo)是（-

3

×4^n-1，4ⁿ），
故C₄的坐標(biāo)是：（-

3

×4³，4⁴）即（-64

3

，256），
故答案為：（-64

3

，256）．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，先分別求出C₁、C₂、C₃點的坐標(biāo)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．