Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點E為CD邊上的一個動點，連結(jié)AE、BE，以AE為直徑作圓，交AB于點F，過點F作FH⊥BE于H，直線FH交⊙O于點G．

(1)求證：⊙O必經(jīng)過點D；

(2)若點E運動到CD的中點，試證明：此時FH為⊙O的切線；

(3)當(dāng)點E運動到某處時，AE∥FH，求此時GF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，且O為AE中點，

∴OD=AE，

∴點D在⊙O上．

（2）證明：如圖，連結(jié)OF、EF．

易證AFED為矩形，

∴AF=DE．

∵E為CD的中點，

∴F為AB的中點．

∴OF為△ABE的中位線，

∴OF∥EB．

∵FH⊥EB，∴OF⊥FH．

∴FH為⊙O的切線．

（3）解：作OM⊥FG，連結(jié)OF．

∵AE∥FH，∴∠AEB=90°．

易證△ADE∽△ECB，

由相似得：DE=2或8．

①當(dāng)DE=2時，

如圖，AF=2，F(xiàn)B=8，EB=4，AE=2．

由△BFH∽△BAE得，HB=，∴OM=EH=．

∴FG=2FM=．

②當(dāng)DE=8時，

如圖，同上解法，可得OG=AE=2．

OM=EH=．

∴FG=2GM=．

【解析】（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一邊得出結(jié)論；

（2）連結(jié)OF、EF，證出OF⊥FH，從而得出FH為⊙O的切線；

（3）分DE=2或8二種情況進(jìn)行討論。