Question

如圖∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠1=60°，∠7=20°
（1）試說明AC⊥BD；
（2）求∠3及∠5的度數(shù)；
（3）求四邊形ABCD各內角的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵∠1+∠2+∠DAB=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1+∠3+∠AOD=90°，
∴∠AOD=90°，
∴AC⊥BD；

（2）∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°-∠1=90°-60°=30°．
∵AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠5=90°-∠7=70°；

（3）∠DAB=2∠3=60°，
∠ADC=∠1+∠7=60°+20°=80°，
∠DCB=∠5+∠6=70°+70°=140°，
則∠ABC=360°-∠DAB-∠ADC-∠DCB=80°．
分析：（1）根據(jù)三角形內角和定理即可證得∠1+∠3=90°，則在△AOD中，利用內角和定理即可求得∠AOD=90°，即可證得；
（2）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解；
（3）根據(jù)根據(jù)（2）即可求得∠DAB，∠ADC，∠DCB的度數(shù)，然后根據(jù)四邊形的內角和定理即可求得∠ABC的度數(shù)．
點評：本題考查了三角形的內角和定理，以及四邊形的內角和定理，直角三角形的兩銳角互余，正確理解三角形的內角和定理是關鍵．