Question

（2011•青浦區(qū)一模）在△ABC中，∠A=90°，AC=8cm，sin∠ABC=

4

5

，點D是邊AB上的一動點，過點D作DE∥BC，交邊AC于點E

（1）如圖（1），當AD=2BD時，求△ADE的面積；
（2）點D在運動過程中，如果△ADE的周長與四邊形DBCF的周長相等，求AD的長；
（3）將四邊形BCED沿DE向上翻折，得四邊形MDEN，HF與邊AB、AC分別交于點M、N（如圖2所示），如設四邊形MDEN的面積為y，AD的長為x，試求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

分析：（1）利用∠A的正弦值求得BC和AB的長，然后利用相似三角形求得AD和AE的長，最后求面積即可；
（2）根據(jù)△ADE的周長與四邊形DBCE的周長相等，得到AD+DE+AE=DB+BC+CE+DE，即AD+AE=DB+BC+CE，設AD的長為x，并由此得到方程x+

4

3

x=6-x+10+8-

4

3

x，求得x即可；（3）根據(jù)四邊形BCED沿DE向上翻折，利用翻折對稱性得到∠HDG=∠BDG，∠H=∠B，HD=BD，證得ADE∽△ABC，利用面積的比等于相似比的平方即可確定函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠A=90°，AC=8，sin∠ABC=

4

5

，
∴sin∠ABC=

AC

BC

=

4

5

，解得BC=10，AB=6，
∵AD=2BD，DE∥BC，
∴

AD

DB

=

AE

EC

=2，解得AD=4，AE=

16

3

，
∴△ADE的面積為

1

2

×4×

16

3

=

32

3

cm²；

（2）∵△ADE的周長與四邊形DBCE的周長相等，
∴AD+DE+AE=DB+BC+CE+DE，即AD+AE=DB+BC+CE，
設AD的長為x，由（1）可知，AE=

4

3

x，DB=6-x，EC=8-

4

3

x，
∴x+

4

3

x=6-x+10+8-

4

3

x，解得：x=

36

7

cm，
∴AD的長為

36

7

cm；

（3）∵四邊形BCED沿DE向上翻折，
∴∠HDE=∠BDE，∠H=∠B，HD=BD，
∵DE∥BC，
∴∠B+∠BDE=180°，
∴∠H+∠HDE=180°，
∴DE∥HF∥BC，
∴∠B=∠HMD，
∴∠H=∠HMD，
∴HD=BD=MD，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=（

AD

AB

）²，
同理

S△AMN

S△ABC

=（

AM

AB

）²，
AM=2x-6  S_△AMN=24，
∴y=

2

3

x²-

2

3

（2x-6）²=-2x²+16x-24（3＜x＜6）

點評：本題考查了折疊問題、相似三角形的判定及性質和銳角三角函數(shù)的定義，難度較大．