Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，等腰直角△OAB的頂點(diǎn)A、B在某反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，則△OAB的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：首先根據(jù)已知構(gòu)造矩形，得出△AON≌△BAW，進(jìn)而得出矩形面積為：S=ON•WN=4（4+

k

4

）=16+k，再利用S_△AOB=16-

k

2

=

256+k2

32

，進(jìn)而利用AO=AB，再表示出即可得出S_△AOB=

1

2

×

256+k2

4

×

256+k2

4

=

256+k2

32

，再利用兩三角形面積相等得出k的值，即可得出答案．

解答：解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，并延長(zhǎng)MB，NA交于一點(diǎn)W，
∵∠WMO=∠MON=∠WNO=90°，
∴四邊形MONW是四邊形，
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=

k

x

（k≠0），
由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，則A點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，

k

4

），
∵等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴AB=AO，
∵∠OAB=90°，
∴∠BAW+∠OAN=90°，
∵∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BAW=∠AON，
在△AON和△BAW中，

∠W=∠ANO ∠WAB=∠NOA AB=AO

，
∴△AON≌△BAW（AAS），
∴AW=NO，S_△AON=S_△BAW，
故WN=AW+AN=4+

k

4

，
∴矩形面積為：S=ON•WN=4（4+

k

4

）=16+k，
∵S_△MOB=S_△AON=S_△BAW=

1

2

×4×

k

4

=

k

2

，
∴S_△AOB=16+k-3×

k

2

=16-

k

2

，
∵NO=4，AN=

k

4

，
∴AB=AO=

42+ k2 42

=

256+k2

4

，
∴S_△AOB=

1

2

×

256+k2

4

×

256+k2

4

=

256+k2

32

，
∴16-

k

2

=

256+k2

32

，
整理得出：
k²+16k-256=0，
解得：k₁=-8+8

5

，k₂=-8-8

5

，
∴S_△AOB=16-

k

2

=16+4-4

5

=20-4

5

．或S_△AOB=16-

k

2

=16+4+4

5

=20+4

5

．
同理，當(dāng)該反比例函數(shù)位于第二、四象限時(shí)，S_△AOB=40±16

5

．
故答案為：20±4

5

，40±16

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知用兩種方法得出S_△AOB是解題關(guān)鍵．