Question

11．如圖為某風景區(qū)中古塔，大壩和湖的截面圖，大壩頂端CE和水面平行，點C為大壩頂端拐角處，大壩的坡比i=3：1（即CG：FG=3：1），當小明和同伴從大壩的點F處沿著截面所在方向開始劃船，劃行20米到達點A處時，他們以仰角45°觀察遠方，正好看到古塔頂端的點D，且點C在視線AD上，當他們從點A繼續(xù)沿原方向劃船40米，到達點B處時，觀察點D的仰角正好為30°．
（1）求大壩傾斜段上CF的長；（精確到0.1米，$\sqrt{10}$≈3.16）
（2）求古塔DE的高度．（精確到0.1米，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）在Rt△AGC中，根據∠CAG=45°，得出AG=GC，再根據坡度比設出FG=x米，則CG=3x米，再根據AG=AF+FG，列出方程，求出x的值，然后根據勾股定理即可求出CF的值；
（2）根據CE∥BG，∠CAG=45°得出∠DCE=45°，AH=HD，從而得出CE=DE，設GH=x米，則CE=DE=x米，然后根據tan30°=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{x+30}{40+30+x}$，求出x的值，即可得出答案．

解答 解：（1）在Rt△AGC中，
∵∠CAG=45°，
∴AG=GC，
∵CG：FG=3：1，
設FG=x米，則CG=3x米，
∵AG=AF+FG，
∴x+20=3x，
∴x=10，
∴FG=10米，CG=30米，
∴CF=$\sqrt{C{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{10}$≈10×3.16=31.6（米）；

（2）∵CE∥BG，∠CAG=45°，
∴∠DCE=45°，AH=HD，
∴CE=DE，
設GH=x米，則CE=DE=x米，
∵∠DBH=30°，
∴tan30°=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{x+30}{40+30+x}$，
∴x≈24.5（米），
∴DE=24.5（米）；
∴古塔DE的高度是24.5米．

點評 本題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點是仰角的定義、坡度比、特殊角的三角函數值，勾股定理等知識點，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．