Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-

5

4

x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）、B（3，

5

2

）兩點(diǎn)，BC⊥x軸，垂足為C．點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連結(jié)AM、BM，設(shè)△AMB的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）連結(jié)PC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PMBC是菱形？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A，B點(diǎn)代入求出即可；
（2）首先求出直線AB的解析式，進(jìn)而用t表示出P以及M點(diǎn)坐標(biāo)，再利用S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP求出即可，結(jié)合二次函數(shù)最值求法得出答案；
（3）利用菱形的判定以及勾股定理和一元二次方程的解法得出t的值，進(jìn)而得出符合條件的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

5

4

x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）、B（3，

5

2

）兩點(diǎn)，
∴

c=1 - 5 4 ×9+3b+c= 5 2

，
解得：

b= 17 4 c=1

，
∴拋物線解析式為：y=-

5

4

x2+

17

4

x+1；

（2）∵設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
則

b=1 3k+b= 5 2

，
解得：

k= 1 2 b=1

，
∴直線AB的解析式為：y=

1

2

x+1，
∵P點(diǎn)在直線AB上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

1

2

t+1，
∴MP=-

5

4

t²+

17

4

t+1-

1

2

t-1=-

5

4

t²+

15

4

t，
∴S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP=

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×t+

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×（3-t）
=-

15

8

t²+

45

8

t，
當(dāng)t=

3

2

時(shí)，S最大值=

135

32

；

（3）t=1時(shí)，四邊形PMBC為菱形．
理由：∵BC∥PM，當(dāng)BC=MP時(shí)，四邊形MPCB是平行四邊形，
當(dāng)BC=PC時(shí)，平行四邊形PMBC是菱形，
∵B（3，

5

2

），
∴BC=

5

2

，即MP=PC=

5

2

=-

5

4

t²+

15

4

t，
解得：t₁=1，t₂=2，
PC=

( 1 2 t+1)2+(3-t)2

=

5

2

，
解得：t₁=1，t₂=3，
只有同時(shí)滿足兩個(gè)方程才可以，
故t=1．此時(shí)四邊形PMBC為菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值求法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出MP=PC時(shí)t的值是解題關(guān)鍵．