Question

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線AB上，且滿足（如圖（1）所示）。

（1）當(dāng)AD=2，且點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖（2）所示），求線段PC的長；
（2）在圖（1）中，連接AP，當(dāng)，且點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)B、Q之間的距離為x，，其中S_△APQ表示△APQ的面積，S_△PBC表示△PBC的面積，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；
（3）當(dāng)AD<AB，且點(diǎn)Q在線段AB的延長線上時(shí)（如圖（3）所示），求∠QPC的大小。

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠A=∠ABC=90°， 當(dāng)AD=2時(shí)，AD=AB， ∴∠D=∠ABD=45°， ∴∠PQC=∠D=45°， ∴， ∴PQ=PC， ∴∠C=∠PQC=45°， ∴∠BPC=90°， ∴PC=BC·sin45°=； （2）如圖，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F， ∵∠ABC=90°， ∴四邊形EBFP是矩形， ∴PF=BE， 又∵∠BAD=90°， ∴PE∥AD， ∴Rt△BEP∽R(shí)t△BAD， ∴， ∴， 設(shè)BE=4k，則PE=3k， ∴PF=BE=4k， ∵BQ=x，AQ=AB-BQ=2-x， ∴， ∵， ∴，； （3）如圖，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F ∵∠ABC=90° ∴四邊形EBFP是矩形， ∴PF=BE，∠EPF=90°， 又∠A=90°， ∴PE∥AD， ∴Rt△BEP∽R(shí)t△BAD， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴Rt△PCF∽R(shí)t△PQE， ∴∠FPC=∠EPQ， ∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°， ∴∠FPC+∠QPF=90°， 即∠QPC=90°。