Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，將△ABC順時(shí)旋轉(zhuǎn)90°得到△EQC，延長(zhǎng)QE交AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C的切線CD交PQ于D，連接OC．
（1）求證：△CDQ≌△COB；
（2）若BC=kAC（1＜k＜2為常數(shù)），求

BP

PO

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)知△ABC≌△EQC，∠B=∠Q，CB=CQ，∠ECQ=90°．由切線知∠OCD=90°，所以∠OCB=∠DCQ，△CDQ≌△COB；
（2）設(shè)BC=a，AC=b，則AB=2AO=

a2+b2

，sinB=

AC

AB

=

b

a2+b2

．則sinQ=sinB=

b

a2+b2

．易求AP=AQ•sinQ=

ab+b2

a2+b2

=

a2-ab

a2+b2

．PO=

2ab+b2-a2

2 a2+b2

，所以

BP

PO

=

2(a2-ab)

2ab+b2-a2

=

2(k2-k)

-k2+2k+1

．

解答：（1）證明：∵由旋轉(zhuǎn)知△ABC≌△EQC，
∴∠B=∠Q，CB=CQ，∠ECQ=90°．
又∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB=∠DCQ，
在△CDQ與△COB中，

∠B=∠Q CB=CQ ∠OCB=∠DCQ

，
∴△CDQ≌△COB（ASA）；

（2）設(shè)BC=a，AC=b，則AB=2AO=

a2+b2

，sinB=

AC

AB

=

b

a2+b2

．
在△APQ中，sinQ=sinB=

b

a2+b2

．
AQ=a+b．
AP=AQ•sinQ=

ab+b2

a2+b2

=

a2-ab

a2+b2

．
PO=AP-

1

2

AB=

ab+b2

a2+b2

-

a2+b2

2

=

2ab+b2-a2

2 a2+b2

，
依題意知，a=kb，
所以

BP

PO

=

2(a2-ab)

2ab+b2-a2

=

2(k2-k)

-k2+2k+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．解答（2）題時(shí)，是通過解直角三角形求得相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系的．