Question

如圖，在平行四邊形中，E、F分別是AD、BC的中點，AC分別交BE、DF于G、H，下列結(jié)論：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=DH；④S_△ABE=3S_△AGE．其中正確的結(jié)論有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：由ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對邊平行且相等，得到AD與BC平行且相等，又E和F分別為AD與BC的中點，利用等量代換得到ED與BF相等，且平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到DEFB為平行四邊形，從而得到對邊DF與BE相等，選項①正確；由DF與EB平行得到兩對同位角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似得到三角形AEG與三角形ADH相似，且相似比為1：2，故得到G為AH中點，同理得到H為CG中點，即可得到AG=GH=HC，選項②正確；從而得到EG為三角形ADH的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)得到EG等于DH的一半，選項③正確；由AD與BC平行得到兩對內(nèi)錯角相等，從而得到三角形AEG與三角形GCB相似，且相似比為1：2，得到EG與GB之比為1：2，根據(jù)三角形AEG與三角形AGB底邊分別為EG與GB時，高相同，故兩三角形面積之比為1：2，從而得到S_△ABE=3S_△AGE．故選項④正確，從而得到正確選項的個數(shù)為4個．
解答：解：如右圖，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，BE=DF，選項①正確；
∵E、F是AD、BC中點，
∴DE=AD，BF=BC，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴∠AEG=∠ADH，∠AGE=∠AHD，
∴△AEG∽△ADH，又AE：AD=1：2，
∴AG：AH=1：2，即G為AH中點，
∴EG為△ADH的中位線，
∴EG=DH，選項③正確；
同理H為CG的中點，HF也為△BCG的中位線，
∴AG=GH=CH，選項②正確；
又AD∥BC，
∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠GBC，
∴△AEG∽△BCG，又AE：BC=1：2，
∴EG：GB=1：2，
∵△AEG和△AGB分別以EG和GB為底邊時，高相同，
∴兩三角形的面積之比也等于1：2，即2S_△ABG=S_△AGB，
∴S_△ABE=3S_△AGE，選項④正確，
則正確的結(jié)論有4個．
故選D
點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，本題屬于結(jié)論開放型題，由已知一定的條件，需探求問題的結(jié)論，解題的方法也多樣化，解決此類問題往往采用執(zhí)因索果，逐步推理的方法．