Question

如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F．

求證：四邊形BEDF是正方形．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：因為DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，∠ABC＝90°， 　　所以∠DFB＝∠ABC＝∠DEB＝90°， 　　所以四邊形BEDF是矩形． 　　因為BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F， 　　所以DE＝DF， 　　所以矩形BEDF是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)． 　　證法二：先根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證四邊形BEDF是菱形，再由∠ABC＝90°，得菱形BEDF是正方形． 　　分析：由題設(shè)可得∠FBE＝90°，∠BED＝90°，∠DFB＝90°，所以四邊形BEDF是矩形．再通過有一組鄰邊相等的矩形是正方形來證得結(jié)論或先證是菱形再證是正方形．由于此題條件更適合先證四邊形BEDF是矩形，所以利用有一組鄰邊相等的矩形是正方形來證更簡便一些．