Question

如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)B是x軸正半軸上的點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線l垂直于x軸，點(diǎn)C為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過點(diǎn)C作CD⊥AC交直線l于點(diǎn)D，將△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，連接AE，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（m，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（n，0）
（1）用含m，n的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A、E、D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求m，n之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中有唯一位置使得AE∥x軸，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知條件求出∠ACO+∠BCD=90°，∠ACO+∠OAC=90°，得出∠BCD=∠OAC，再根據(jù)AA得出△AOC∽△CBD，得出

CB

AO

=

DB

OC

，求出DB=

1

2

n（m-n）=-

1

2

n²+

1

2

mn，即可得出D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，得出∠DEC=∠DBC=90°，當(dāng)點(diǎn)A、E、D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，得出∠AOC=∠AEC，再根據(jù)∠BCD=∠ECD，得出∠ACO=∠ACE，再根據(jù)AAS得出△AOC≌△AEC，得出OC=EC=BC，從而得出m，n之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)AE∥x軸時(shí)，得出∠EAC=∠ACE，EA=EC=CB=m-n，作EF⊥OC，得矩形AOFE，根據(jù)矩形的特點(diǎn)得出CF=|n-（m-n）|=|2n-m|，再根據(jù)勾股定理得出EF²+FC²=EC²，然后進(jìn)行整理得出3n²-2mn+4=0，再根據(jù)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中有唯一位置使得AE∥x軸，得出△=（2m）²-4×3×4=0，求出符合條件的m的值即可．

解答：解：（1）∵CD⊥AC，DB⊥BO，AO⊥BO，
∴∠AOC=∠CBD=90°，∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠BCD=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∴△AOC∽△CBD，
∴

CB

AO

=

DB

OC

，即

m-n

2

=

DB

n

，
∴DB=

1

2

n（m-n）=-

1

2

n²+

1

2

mn，
∴D（m，-

1

2

n²+

1

2

mn）；

（2）∵△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，
∴∠DEC=∠DBC=90°，
當(dāng)點(diǎn)A、E、D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，∠AEC=180°-∠DEC=90°，
∴∠AOC=∠AEC，
∵∠ACO+∠BCD=90°，∠ACE+∠ECD=90°
又∵∠BCD=∠ECD，
∴∠ACO=∠ACE，
在△AOC與△AEC中，

∠AOC=∠AEC ∠ACO=∠ACE AC=AC

，
∴△AOC≌△AEC（AAS），
∴OC=EC=BC，即n=m-n，
∴m=2n；

（3）當(dāng)AE∥x軸時(shí)，∠EAC=∠ACO，∠ACO=∠ACE，
∴∠EAC=∠ACE
∴EA=EC=CB=m-n，
作EF⊥OC，得矩形AOFE，
∴EF=AO=2，OF=AE=m-n，
∴CF=|n-（m-n）|=|2n-m|，
Rt△FCE中，根據(jù)勾股定理得EF²+FC²=EC²，
∴2²+（2n-m）²=（m-n）²，
整理得3n²-2mn+4=0，
∵點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中有唯一位置使得AE∥x軸，
∴△=（2m）²-4×3×4=0，m=±2

3

（負(fù)值舍去），
∴m=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出輔助線，得出CF的值．