Question

如圖，已知有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q、E、F分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D同時(shí)出發(fā)，沿AB、BC、CD、DA以同樣的速度勻速向B、C、D、A移動(dòng)．
（1）求證：四邊形PQEF是正方形．
（2）PE是否總過(guò)某一點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
（3）四邊形PQEF的頂點(diǎn)在何處時(shí)，其面積有最小值和最大值，并求其最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形，故可根據(jù)正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形．
（2）證PE是否過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可連接AC，證明四邊形APCE為平行四邊形，即可證明PE過(guò)定點(diǎn)．
（3）當(dāng)對(duì)角線最小時(shí)，面積最小，對(duì)角線最大值時(shí)，面積最大．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，
∴∠APF+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90°，
∴四邊形PQEF為正方形；

（2）連接PC、AE，

∵AP平行且等于EC，
∴四邊形APCE為平行四邊形．
∴O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴對(duì)角線PE總過(guò)AC的中點(diǎn)O；

（3）正方形ABCD與正方形PQEF的對(duì)角線交點(diǎn)是重合的，
當(dāng)OP⊥AB時(shí)，四邊形PQEF面積最小，為原正方形面積的一半，此時(shí)S_{正方形PQEF}=

1

2

S_{正方形ABCD}．
當(dāng)P與頂點(diǎn)B重合時(shí)，面積最大，S_{正方形PQEF}=S_{正方形ABCD}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題，在證明過(guò)程中，應(yīng)用了正方形的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理，為使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，在證明過(guò)程中，可適當(dāng)加入輔助線，此題難度一般．