Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列4個結論正確的有

 

個    
 ①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④對于任意x均有ax²+bx≥a+b．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

專題：數(shù)形結合

分析：由拋物線開口向上得a＞0，由拋物線與x軸的交點在x軸下方得c＜0，則ac＜0；由于拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0）、（3，0），根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=1，則-

b

2a

=1，即2a+b=0；由于當x=2時，函數(shù)值小于0，所以4a+2b+c＜0；由于當x=1時，函數(shù)有最小值a+b+c，所以對于任意x均有ax²+bx+c≥a+b+c，即ax²+bx≥a+b．

解答：解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線與x軸的交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0）、（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴-

b

2a

=1，即2a+b=0，所以②正確；
∵當x=2時，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以③錯誤；
∵當x=1時，函數(shù)有最小值a+b+c，
∴對于任意x均有ax²+bx+c≥a+b+c，即ax²+bx≥a+b，所以④正確．
故答案為3．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．