Question

12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是邊AB上動點，（不與點A、點B重合），連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接AE．
（1）求∠EAC的度數(shù)；
（2）求證：AD²+AE²=2CD²；
（3）若AB=2，在點D運動的過程中，四邊形ADCE的周長和面積，一個是常量，一個是變量
①常量是面積，它的值是1
②變量是周長，求它的最小值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△BCD≌△ACE，得出∠CAE=∠CBD，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）由（1）的△BCD≌△ACE，得出四邊形ADCE的面積等于△ABC的面積；再判斷出AD+AE=2，進(jìn)而判斷出四邊形ADCE的周長要最小，得出CD⊥AB即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)知，CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠CAE=45°；
（2）如圖，

連接DE，
由（1）知，∠BAC=45°=∠CAE，
∴∠DAE=90°，根據(jù)勾股定理得，DE²=AD²+AE²，
由旋轉(zhuǎn)知，∠DCE=90°，CD=CD，
∴DE²=2CD²，
∴AD²+AE²=2CD²；

（3）①
在Rt△ABC中，AC=BC，AB=2，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BC=1
由（1）知，△BCD≌△ACE，BD=AE，
∴S_△BCD=S_△ACE，
∴S_{四邊形ADCE}=S_△ACE+S_△ACD=S_△BCD+S_△ACD=S_△ABC=1，
故答案為：面積，1；

②由①知，BD=AE，
∴AD+AE=AD+BD=AB=2，
由旋轉(zhuǎn)知，CD=CE
∴L四邊形ADCE=AD+AE+CE+CD=AB+2CD=2+2CD，
∴要四邊形ADCE的周長最小，則CD最小，
∵點D在等腰直角三角形的斜邊上，
∴CD⊥AB時，CD最小，最小值為$\frac{1}{2}$AB=1，
∴四邊形ADCE的周長最小為2+2×1=4．
故答案為：周長．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解（1）的關(guān)鍵是判斷出∠CAE=∠ABC，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，解（3）的關(guān)鍵是判斷出四邊形ADCE的面積是常量，周長是變量．