Question

3．若方程x²+2kx+k²-2k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂
（1）請(qǐng)你求出k的取值范圍
（2）請(qǐng)你判斷是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得x₁²+x₂²=4成立，若存在，請(qǐng)你求出符合條件的k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出△的值，再求出k即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=-（k²-2k+1），變形后代入，即可求出k，最后判斷即可．

解答 解：（1）∵方程x²+2kx+k²-2k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
∴△=（2k）²-4×1×（k²-2k+1）=8k-4≥0，
解得：k$≥\frac{1}{2}$；

（2）存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得x₁²+x₂²=4成立．
理由是：∵方程x²+2kx+k²-2k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=-（k²-2k+1），
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=4，
∴4k²+2（k²-4k+1）=4，
解得：k=$\frac{2±\sqrt{7}}{3}$，
∵k$≥\frac{1}{2}$，
∴k只能為$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，
即存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得x₁²+x₂²=4成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．