Question

20．在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，∠AOB=60°，AE平分∠BAD交BC于E
（1）求證：△AOB是等邊三角形；
（2）求證：AC=2BE；
（3）求∠COE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出OA=OB，再由∠AOB=60°，即可得出結(jié)論；
（2）由矩形的性質(zhì)和角平分線得出△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=OA，即可得出結(jié)論；
（3）由矩形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論得出∠OBE=30°，證出OB=BE，求出∠BOE，即可得出∠COE的度數(shù)．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABD=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形；
（2）證明：由（1）得：△AOB是等邊三角形，
∴AB=OB=OA=$\frac{1}{2}$AC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB，
∴BE=OA，
∴AC=2BE；
（3）解：由（1）得：△AOB是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∵BE=AB，OB=AB，
∴OB=BE，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵∠BOC=180°-60°=120°，
∴∠COE=120°-75°=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．