Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線l，D為對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)。
（1）求拋物線的解析式；
（2）求當(dāng)AD+ CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作OA。
①證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)，直線BD與⊙A相切；
②寫出直線BD與⊙A相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)：______。

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）， 將C（0，3）代入上式， 得3=a（0 +1）（0-3）， 解得a=-1， ∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）， 即y=-x2+2x+3；
（2）如圖，連接BC，交直線l于點(diǎn)D， ∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱， ∴AD=BD， ∴AD+CD=BD+CD=BC， 由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：此時(shí)AD+CD最小，點(diǎn)D的位置即為所求， 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b， 由直線BC過點(diǎn)B（3，0），C（0，3），得 解這個(gè)方程組，得 ∴直線BC的解析式為y=-x+3， 由（1）知：對(duì)稱軸l為，即x=1， 將x=1代人y=-x+3，得y=-1+3=2， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；
（3）①連接AD，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)E， 由（2）知：當(dāng)AD+CD最小時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）， ∴DE=AE=BE=2， ∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， ∴BD與⊙A相切； ②（1，-2）。