Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對(duì)角線，點(diǎn)M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，下列說(shuō)法：
①當(dāng)AC=BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓．
②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓．
③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓．
其中正確的是（　�。�

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,三角形中位線定理,菱形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點(diǎn)O，利用三角形中位線定理可證到四邊形ENFM是平行四邊形；然后根據(jù)條件判定四邊形ENFM的形狀，就可知道M、E、N、F四點(diǎn)是否共圓．

解答：解：連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點(diǎn)O，如圖所示．
∵點(diǎn)M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，
∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=

1

2

BD，EN=MF=

1

2

AC．
∴四邊形ENFM是平行四邊形．
①當(dāng)AC=BD時(shí)，
則有EM=EN，
所以平行四邊形ENFM是菱形．
而菱形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定共圓，
故①不一定正確．
②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，
由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°．
所以平行四邊形ENFM是矩形．
則有OE=ON=OF=OM．
所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓，
故②正確．
③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，
同理可得：四邊形ENFM是正方形．
則有OE=ON=OF=OM．
所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓，
故③正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．在解決問(wèn)題的過(guò)程中，可能會(huì)把AC、BD誤認(rèn)為是平行四邊形ENFM的對(duì)角線，從而由AC=BD得到該四邊形是矩形這樣一個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論，需加以注意．