Question

已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：BF=AC；
（2）求證：CE=

1

2

BF．

Answer 1

分析：（1）由ASA證△BDF≌△CDA，進(jìn)而可得出第（1）問的結(jié)論；
（2）在△ABC中由垂直平分線可得AB=BC，即點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，再結(jié)合第一問的結(jié)論即可求解．

解答：證明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，
∴BD=DC，且∠BDC=90°，
∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
在△BDF和△CDA中，

∠BDF=∠CDA DB=DC ∠DBF=∠DCA

，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC．

（2）由（1）得BF=AC，
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
在△ABE和△CBE中，

∠ABE=∠CBE BE=BE ∠AEB=∠CEB=90°

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴CE=AE=

1

2

AC=

1

2

BF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)等問題，應(yīng)熟練掌握．