Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D。（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎？為什么？
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)指出符合條件的點(diǎn)P的位置，并直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為， 由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）， 可知c=-3， 即拋物線的解析式為， 把A（-1，0）、B（3，0）代入， 得 解得a=1，b=-2， ∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3， ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）；
（2）以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形， 理由如下：過(guò)點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F， 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3， ∴， 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， ∴， 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， ∴， ∴， 故△BCD為直角三角形；
（3）連接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合條件的點(diǎn)為O（0，0）， 過(guò)A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，可知Rt△CAP1∽ Rt△COA∽R(shí)t△BCD， 求得符合條件的點(diǎn)為， 過(guò)C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽R(shí)t△BCD， 求得符合條件的點(diǎn)為P2（9，0）， ∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O（0，0），，P2（9，0）。