Question

正方形ABCD中，M是AB上的一點(diǎn)，E是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠CBE的平分線上一點(diǎn)，且MN=DM．
（1）求證：MN⊥DM；
（2）已知AB=2，設(shè)AM=x，求DN的長(zhǎng)．（用含x的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在AD上取一點(diǎn)P，使DP=BM，連接PM，利用正方形的性質(zhì)，證得△MPD≌△NBM，得出結(jié)論；
（2）先在Rt△ADM中利用勾股定理求出DM，再根據(jù)△DMN是等腰直角三角形即可求出斜邊DN的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：如圖，在AD上取一點(diǎn)P，使DP=BM，連接PM．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°．
∵DP=BM，
∴AP=AM，
∴∠APM=45°，∠MPD=135°．
∵BN平分∠CBE，
∴∠CBN=45°，∠NBM=135°．
在鈍角△MPD與鈍角△NBM中

DM=MN DP=MB ∠MPD=∠NBM=135°

，
∴△MPD≌△NBM（SSA），
∴∠PDM=∠BMN，
∵∠PDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN+∠AMD=90°，
∴∠DMN=90°，
即MN⊥DM；

（2）解：在Rt△ADM中，∵AD=2，設(shè)AM=x，∠A=90°，
∴DM=

AM2+AD2

=

x2+4

．
∵M(jìn)N=DM，MN⊥DM，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴DN=

2

DM=

2x2+8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理；把正方形和全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來(lái)，巧妙作出輔助線解決問(wèn)題．注意，SSA一般不能證明兩個(gè)三角形全等，但是當(dāng)兩個(gè)三角形的形狀相同時(shí)，利用SSA可以判定兩個(gè)三角形全等．